从矩阵力学到“测不准”原理

1926年4月，海森堡在著名物理学家的讨论会上，做了关于矩阵力学的报告，他介绍了矩阵力学的特点，强调量子力学规律可以通过“测量”进行验证。

会后，海森堡却发现，物理量测量有“不确定性”，也就是“测不准关系”。电子位置的精确度与动量精确度的乘积是一个常量，即普朗克常量的12倍。于是，海森堡将自己的这个发现写成论文《运动学与动力学量子理论感知要义》，并于1927年4月22日发表。

海森堡推导的“测不准”原理公式说明，实验对动量和位置的测量结果的偏差不能同时任意缩小：当一个量测量得越精确，另一个量的误差就会增大，位置和动量不可能同时得到精确的值。例如，当位置被非常精确地测量时，对动量的测量结果的偏差必然会比较大，反之亦然。

为了论证自己的“测不准”原理，海森堡设计了一个思想实验：假设我们想确定一个电子的位置，需要用显微镜观察电子反射的光子。显微镜的精度被光的波长所限制——波长越短，显微镜可以达到的精度就越高，但是相应地，光的波长越短，频率就越高，光子携带的能量就越大。

海森堡提出，使用波长非常短的伽马射线来观测电子。他认为可以通过伽马射线非常精确地测量电子的位置，但是要做到这一点要求至少有一个光子被电子反射。由于伽马射线的光子能量很高，因此碰撞会显著地改变电子的运动状态，也就是影响电子的动量。伽马射线显微镜可以很精准地告诉我们电子的位置，但是它的扰动也使动量的测量变得不准确。

尽管海森堡的“测不准”原理是一个令人感到疑惑的想法，但当我们用数学来描述它时，它就变得清晰得多。一个量子系统，如海森堡考虑的电子系统在某一时刻的状态由波函数描述，那么波函数的解只能给出系统具有某种性质的概率。这种概率性导致我们无法准确预测电子的位置。

也就是说，我们考虑的是电子在空间中的分布。如果测量一个电子，可以得到测量时它所处的具体位置，但是如果我们准备100万个处于同一状态的电子然后分别测量它们，就会发现测量到的位置分散在四周。我们所测量到的分散性反映了波函数带来的概率性。而我们想测量的其他性质也表现出相似的特点，如动量，我们所能预测的只是测得某些动量的概率。

如果我们想要从波函数中计算出粒子位置和动量取某些值的概率，就需要用到被称为算符的数学工具。量子力学中有很多种算符，如位置、动量等。这些算符如位置算符作用在波函数上，可以得到可能测量到的电子的位置，并且可以得到测量时电子处于某位置处的概率。每个算符都有一组被称为本征态的波函数，当电子处于位置本征态的状态时，电子处于某个位置的概率是100%。

对于其他算符来说也是一样的。动量算符同样具有一系列本征态，处于本征态的粒子具有确定的动量。但是从数学上可以看出，粒子不可能同时处于动量和位置的本征态。就像2+3无论如何也不会等于27一样，算符对应的数学要求动量和位置不可能同时处于本征态。

从数学上讲，想让两个力学量同时具有确定值是不可能的。量子物理的不确定性限制了我们对电子的位置和动量测量精度的极限。

根据“测不准”原理，世界上没有绝对静止不动的物体。因为如果一个粒子的速度是绝对的0，它就没有动量的不确定性，那么它的位置的不确定性就必须是无穷大，它必须同时出现在宇宙中所有的地方。事实上，即便是在绝对零度的温度条件下，粒子也会有一些微小的振动。

“测不准”原理说明，所谓“电子轨道”根本就没有意义。换言之，电子没有确定的位置，它会同时出现在原子核之外的各个地方，它呈现出来的是一片“云”。其实连中间的原子核也是云。而至于为什么在日常生活中，我们可以精确地知道一个物体的位置和速度，则是因为普朗克常数是一个很小的数值，那一点不确定性和宏观世界的尺度相比是微不足道的。

“测不准”原理是海森堡对量子力学做出的一项重要成果，随着量子理论的发展，人们认识到海森堡的“测不准”原理在微观世界中的重要性，并逐渐发现了一系列不可同时精确测量的物理量。如今，“测不准”原理已经被广泛地应用到高能物理、粒子物理、计算机、生物化学、哲学和经济学等领域，直接或间接地推动了这些领域的发展。