1854年春天，一位名叫黎曼的年轻人在为他的前途和他即将面临的考试感到忧虑不安。他已经28岁了，尚未能自立，他靠父亲每月寄来的不多的钱过着贫困的生活。他已经获得博士学位。当时为获得一个（无薪）讲师聘约，他必须在格丁根大学哲学系全体教师面前做一个演讲。

黎曼准备了三个演讲题目，请他的导师高斯从中挑选一个作为正式演讲题目。黎曼选了两个思虑多时的题目，外加一个还未及考虑的题目——关于几何学的基本假设。他几乎确信高斯将挑选前面两个题目之一。然而，高斯偏偏就看中了第三个题目。因为这个深刻而新颖的题目，高斯本人已经仔细考虑了几十年，他很想知道这位年轻人对这一深奥的问题会讲些什么。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间的相互关系问题，从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题，无疑是一种巨大的压力。“头两个我已经准备得很好了”，黎曼给哥哥的信中写道，“但是高斯挑选了第三个，因此现在我很惶恐不安。”

无路可退的黎曼，在经过大约7周时间的努力后，完成了自己的论文《论作为几何学基础的假设》，并在1854年6月10日进行了演讲。演讲结束后，为黎曼论文所震惊的高斯在步行回家的路上怀着不寻常的热情向他的同事韦伯表示了他对黎曼所提出的思想的赞赏。

历史已经证明，这篇论文是数学史上的伟大杰作。因为这次演讲是面对整个哲学系的教师，为了使听众理解，黎曼的这次历史性演讲很少涉及数学细节，但却蕴涵着大量的有关于几何学应如何发展的真知灼见。

黎曼的演讲深受高斯关于曲面之研究的影响。他是在高斯新观念的基础上，又向前迈进了一大步。演讲共分三个部分：第一部分，黎曼用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个n-i维流形按照一维流形方式放在一起而形成的。第二部分，黎曼给出n维流形的度量关系，定义了n维流形上无限邻近两点的距离（后称为黎曼度量）。第三部分是对现实空间的应用。黎曼的研究着眼于连续流形，讨论了流形的拓扑关系和度量关系。他认为拓扑关系可以是先验的，但有关几何空间的知识，尤其是度量关系，必须从经验中得出。

以黎曼度量为基础，黎曼建立了一种更为广泛的新几何，现称为（广义）黎曼几何。具有这种度量的流形或空间，后来称为黎曼流形或黎曼空间。黎曼还考虑了特定的流形，其中最简单的是曲率处处相同的常曲率空间。三维空间中，常曲率空间曲率为正常数时对应的就是由黎曼本人所引入的一种非欧几何：狭义黎曼几何（或称椭圆几何）。

应当强调，在演讲的最后一部分，黎曼指出物理空间是一种特殊的流形，其精确性质不是先验地决定，而只能听候“经验”去检验，要留待天文学家和物理学家去解答，这就是黎曼的那个曾经非常恰当地唤起高斯的好奇心的令人费解的标题“论作为几何学基础之假设”的意义。黎曼认为宇宙的几何是物理的一章，并同其余部分一样要由理论和实验的密切合作来加以发展，这一论点随着20世纪物理学的发展已经完全得到证实。而黎曼几何则成为爱因斯坦广义相对论的数学工具，其思想成为广义相对论的基石。