20世纪末,美国《时代周刊》杂志评选出过去100年里最具影响力的100个人物,其中科技和学术精英占了1/5。在这20个人中,哲学家和数学家各有一位,前者是维特根斯坦,后者是我们接下来要介绍的哥德尔。他们两人的共同点是,都横跨数学和哲学两大领域,都是奥地利人,都用非母语的英文写作。不同的是,一个移居英国后死于剑桥大学,另一个移居美国后死于普林斯顿大学。当然,他们去世时都不是奥地利公民。
1906年,哥德尔出生在摩拉维亚的布吕恩城,今天这座城市的名字叫布尔诺,属于捷克共和国。在历史上布尔诺曾几易其主,19世纪的奥地利遗传学家孟德尔(G.J.Mendel,1822—1884)就是在此城的一座修道院里发现了遗传学的基本原理,后来它又成为捷克作曲家亚纳切克(L.Janacek,1854—1928)终生居住的地方。说起摩拉维亚,在这个中欧著名的地理区域出生的还有精神分析学家弗洛伊德(S.Freud,1856—1939),以及有着“现象学之父”美誉的哲学家胡塞尔(E.Husserl,1859—1938),后者曾在维也纳大学数学系获得变分法方向的博士学位。哥德尔在故乡长大,直到考入维也纳大学攻读理论物理,此前他对数学和哲学产生了浓厚的兴趣,并自学了高等数学。
从大学三年级开始,哥德尔的第一爱好转向了数学,他大学时期的借书卡表明他看了许多数论方面的书。同时,在数学老师的介绍下,他参加了著名的“维也纳小组”的某些活动。这是一个由哲学家、数学家、科学家组成的学术团体,主要探讨的语言和方法论,在20世纪哲学史上占有重要的地位,也被称为“维也纳学派”。在这个学派的宣言书《科学的世界观:维也纳学派》所附名单中,23岁的哥德尔成为14个成员中最年轻的一个。1930年,他以《逻辑谓词演算公理的完全性》获得哲学博士学位,随后建立了震惊世界的哥德尔第一和第二不完备性定理。
1931年1月,维也纳的《数学物理学月刊》发表了一篇题为“论《数学原理》及有关系统的形式之不可判定命题”的论文。几年以后,它就被视为数学史上具有重大意义的里程碑,作者是不到25岁的哥德尔。这篇论文的结果首先是否定性的,既推翻了数学的所有领域都能被公理化的信念和努力,又摧毁了希尔伯特设想的证明数学的内部相容性的全部希望。同时,这种否定最终促成了数学基础的划时代变革,既分清了数学中的“真”与“可证”的概念,又把分析的技巧引入数学基础。
哥德尔第一不完备性定理:对于包含自然数系的形式体系F,如果是相容的,则F中一定存在一个不可判定命题S,使得S与S之否定在F中皆不可证。
也就是说,自然数系的任何公设集如果是相容的,就是不完备的。由此得出结论:任何形式系统都不能完全刻画数学理论,总有些问题从形式系统的公理出发不能解答。更有甚者,几年以后,美国数学家丘奇(A.Church,1903—1995)证明了,“对于包含自然数系的任何相容的形式体系,不存在有效的方法,判定该体系的哪些命题在其中是可证的”。在第一不完备性定理的基础上,哥德尔进一步提出第二不完备性定理。
哥德尔第二不完备性定理:对于包含自然数系的形式系统F,如果是相容的,则F的相容性不能在F中被证明。
也就是说,在真的但不能由公理来证明的命题中,包括了这些公理是相容的(无矛盾性的)这一论断。这就使得希尔伯特的希望破灭了。现在看来,经典数学的内部相容性不可证,除非我们采用那些复杂的推理原则,但这些原则的内部相容性与经典数学的内部相容性一样值得怀疑。
哥德尔的这两条不完备性定理表明,没有哪一部分数学能做到完全的公理推演,也没有哪一部分数学能保证其内部不存在矛盾。这些都是公理化方法的局限性,一方面,它们说明数学证明的程序无法确实不与形式公理的程序相符;另一方面,它们也旁证了人的智慧不能被完全的公式化所替代。对于形式系统来说,“可证”是可以机械地实现的,“真”则需要进一步的思想能动性。换句话说,可证的命题必然是真的,但真的命题却未必是可证的。
哥德尔不完备性定理如今已成为数学史上最重要的定理,但它的证明专业性太强,我们在这里就不做介绍了。值得一提的是,证明中提出的“递归函数”的概念是哥德尔的一位朋友来信建议的,这个朋友三个月后意外死亡。哥德尔不完备性定理出名以后,递归函数也随之誉满天下。递归函数后来成为算法理论的起点,还引导图灵提出了理想计算机的概念,为电子计算机最初的研制提供了理论基础。与此同时,有关悖论与数学基础的论证也渐趋平静,数学家们把更多的精力放在数理逻辑研究上,大大推动了这门学科的发展。