伽利略曾作过这样的证明:DE是△ABC的中位线,DE=1过A引任意一条直线,必然有DE 上的P′和BC上P 通BC ,一一对应,因此,DE所包含的点与BC所含的点“一样多”,导致结论:DE=BC,1=2。这是一个数学悖论。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”),许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。1874—1876年期间,不到30岁的年轻德国数学家康托尔(1845—1918年)向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水,成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的一点一一对应,也能和空间中的点一一对应。这样看起来,1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”!后来几年,康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突,遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说,康托尔的集合论是一种“疾病”,康托尔的概念是“雾中之雾”,甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院。
真金不怕火炼,康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认。伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。可是这时康托尔仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日,康托尔在一家精神病院去世。
康托尔生于俄国彼得堡一个丹麦犹太血统的富商家庭,10岁随家迁居德国,自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学们,以后一直从事数学教学研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。