你能想象得到的最大数是几呢?是无穷大吗?嗯,抱歉,无穷大不可能是最大的数,因为无穷大并不是一个数,而是一个量,一种数增大的趋势。事实上,数学上定义了多种无穷大,它们之间还可以相互比较大小。
对于无穷大,我们每个人心中都有一个界定。我们用“无尽”“无数”和“无限”等词来描述无穷。粗看起来这些词都用得很合适,但是其实这些词本来就表述不同的含义,它们仅描述了某些无穷大的意义,而不能表达另一些。实际上无穷大是一个很奇特的概念。
关于无穷大的一个游戏
通过想象一个无穷次才能完成的游戏,我们可以感受一些无穷大的含义。首先准备一个足够存放无穷多小球的大桶,设想我们真的有无穷多的球,每个球上还标记着数字,从1开始到无穷大。第一步,把前10个球(即标号为1至10的球)放入桶中,再取出1号球。第二步,把标号为11至20的10个球放入桶中,再取出2号球。持续这个过程,第n步把标号为10(n-1)+1, 10(n-1)+2,…,10(n-1)+10的10个球放入桶中,再取出第n号球——第三步取出3号球,第四步取出4号球,一直进行下去。无穷步后,最终桶里还剩下什么呢?有无穷多个球?还是根本就没有球了?实际上,此时桶里空无一球。虽然这个过程中放入球的速度远远快于取出球的速度,但是无穷次放入球的同时,我们也同样无穷次地取出球。因此,球桶最终被取空。
有限的时间
显然,上面的游戏并不具有可操作性,因为它需要耗费无限的时间。不过,我们可以想象一个1分钟内(或其他时间限制内)完成的关于无穷大的游戏。准备一盏灯和一个开关,计时开始时,我们摁动开关打开灯。半分钟后,我们再次摁下开关熄灭灯。1/4分钟后,再次开灯。持续这种操作,只是把每次开关灯的时间间隔减半,接下来,1/8分钟,1/16分钟……我们可以把剩下的时间无限细分。无穷次操作意味着开关灯动作永不停歇:每次开灯动作后会跟着一个关灯动作,反之亦然。但是,因为时间有限,最终时间一到,所有动作就要停下来。那么,最后的时刻灯是打开着还是熄灭了呢?我们无从知晓。
芝诺悖论
芝诺最著名的悖论之一是“阿喀琉斯跑不过乌龟”。阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄,在他和乌龟的赛跑时,他让乌龟在其前方100米起跑。当乌龟向前跑了一段距离后,阿喀琉斯很快就追过来了,但是,同时,乌龟也已经又前行了新的一段距离。于是,阿喀琉斯不断地追到乌龟之前的位置,同时乌龟已经向前一段距离,又到了新的位置。阿喀琉斯不断地追赶,越来越靠近乌龟,但是他和乌龟之间总存在一段距离。
古代谜题
人们很早就意识到了无穷大的神奇。古希腊数学家们总是试图去避开无穷大,他们认为一条直线可以无限长,但是,无法达到。然而,生活在2500年前古希腊的哲学家芝诺提出了一系列有关无穷大的悖论——最著名的悖论之一,如第153页方框中所示——至此,当时数学家们对无穷大的最初设定被击溃了。
真理浮现
悖论是一种看似自相矛盾的命题。如果假设命题成立,就能推导出命题为假,反之亦然。芝诺的大部分悖论可以总结为二分问题:一个物体要到达1千米处,它必须先经过0.5千米处,而它要到达0.5千米处,不得不先经过1/4千米的位置……按照这个思路,你会发现,我们走到终点(1千米远处)需要无限多步。而我们只有有限的生命,如何完成这无限多步呢?芝诺认为真实的运动不存在,一切变化都是幻象。当时其他人认为宇宙是由不可再分的元素构成的,他们称这些元素为原子。原子的不可再分性保证了人只要每次走一个原子的宽度,就能有限次走完,虽然这个数过于庞大。多年后,科学家确实验证了世界万物是由原子构成的。现代物理也发现原子并不是最微小的物质,不过,同时也发现时空均有下限,不能任意细分。当然,数学和数字可以超脱于真实世界之外存在,并没有数字“原子”不能被细分。事实上,任何数,无论多小,都可以被减半。
关于无穷大的计算
17世纪时,数学家们关注于如何一个一个地数清楚所有的数。比如从1数到2,中间有无数多个分数,怎样才能不多不少一个接一个地数出来呢?他们发现,想要数清楚,必然需要寻找一种方式处理无穷大。1665年,英国数学家约翰·沃利斯定义了无穷大的符号,即∞(他也给出了定义数轴的想法)。无穷大的符号是一根双纽线,即一个圈扭转一边,使中间自交的图形,进而这个图形无起点也无终点,恰与无穷大性质相同。
无穷和
无穷大符号∞可以用于简单的加减乘运算,但是却有别于一般的数:1+∞=∞, 10×∞=∞,以及(±∞)+(±∞)=±∞。这些式子意义明显,但是1/∞有相应的计算吗?沃利斯和其他数学家,如艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨,开始着手研究两个整数之间的无穷多个分数之和,如0与2之间的。比方说, 1+1/2+1/4+1/8+1/16+…,即2的所有自然数幂的倒数之和。这个无穷和应该为2。为何呢?我们并不能直接对无穷多个分数一步一步求和验证猜测。接下来的两个世纪中,许多数学家提出了验证方法,以证明这些逐项等比例递减的分数,如果存在无穷和,其和必为2。但是,无论是2还是和式中的所有分数都是有理数,而人们早已知道无理数远远多于有理数,且无理数不能写成分数形式(见第40页的方框)。大多数无理数还是超越数,即不遵循某些数学性质。那么,我们该如何去算这些数的无穷项之和呢?
感受无穷大
在今天,微积分业已成为“艰深晦涩”的代名词。人们以数年对大量数学基本知识的学习掌握为前提,才有可能对微积分理论有一定的认识。微积分理论建立的目的是研究变量的性质。它把那些变量转化为一个无穷级数,前后项只相差一个无穷小量。微积分可以为复杂现象建立数学模型来进行研究,比如海浪模型。
数集合
解决上面问题的一种方式是把实数集合按性质分割成小集合。这方面工作的领军人物是德国数学家格奥尔格·康托尔。19世纪70年代,康托尔开创性地提出不同无穷集合的基数可以不同,无穷大与无穷大之间也有大小区别,这些想法颠覆了一直以来人们对无穷大这个概念的认识。这些想法看似奇特,但是现已被数学家们一致认可。而在康托尔生活的那个年代,许多同事嘲笑他,认为他的工作是毫无意义的。康托尔因为这些讥讽对立,精神上屡受刺激,患上了严重的精神疾病和抑郁症,所以,他晚年的大部分时间是在医院里度过的。直到20世纪早期,他已是迟暮之年,孤独且穷困潦倒,数学界才真正意识到他的工作的划时代意义。
可数无穷大
最简单的无穷数集合是可以把元素一个一个按顺序数出来的,比如正整数集合:从1开始,然后是2,3,4,…,每次加1往下数,无限持续下去。康托尔把这种集合的基数定义为可数无穷大。这种集合亦称为可列无穷集,这个名称可能更为合适,因为人们可以罗列无穷多个数,却不能真的一个一个数完所有无穷个数。偶数集合、奇数集合和平方数集合等都是可数无穷集合。人们也许直觉认为这些集合都是自然数集合的真子集,所以基数应该更小。如偶数集合只有自然数集合中一半的元素。但是,这些集合都是无穷数集合,它们都能与自然数集合建立一一对应关系,进而,能一个一个按顺序罗列出来。
负向扩充
非零自然数均为正值,可以认为是沿着数轴正半轴往右,逐项递增地趋于正无穷大。添上0,沿着数轴往左,自然数的相反数以逐项减1的方式递减地趋于负无穷大。这些非零自然数与它们的相反数以及0构成整个整数集合。整数集合也是可列无穷集。整数集合比非零自然数集合似乎多了一倍的元素,但其实它们有相同的基数。
无穷基数
数学上,一个集合的基数是指其含有的元素的个数。因此,在《白雪公主》故事中小矮人构成的集合的基数为7,《101斑点狗》故事中斑点狗构成的集合的基数为101。同样,一个无穷集合的基数为无穷大。但是,人们发现有些无穷大要大于其他的无穷大。为了阐述清楚这种区别,康托尔运用希伯来语阿列夫(ℵ),引入了一套无穷基数概念。可列无穷集具有最小的无穷基数,如整数集合,基数为阿列夫零(ℵ)。不可列集,如实数集合,基数为阿列夫1(ℵ1)。
有理数集合
整数集合是有理数集合的真子集。非整数的有理数是分数。当然,分数集合也是无穷集合。但分数集合也能如整数集合那样一个一个元素按顺序罗列吗?分数是由两个整数进行除法运算得到的,因此,只要分别按分母和分子排序,走一条特殊路径即可:从1/2开始,然后是1/3,1/4, 1/5,…,所有分子是1的分数按分母逐项增大排列;第二行从2/1开始,然后是2/2,2/3,2/4,…,所有分子是2的分数按分母逐项递增依序排列;按照这种方式康托尔可以把所有有理数排成一个无穷行、无穷列的矩阵。沿着简单的Z字形对角线路径,康托尔向大家展示了罗列所有有理数的一种方式,这种方式被后人称为康托尔的“对角线论证”。
希尔伯特的旅馆
大卫·希尔伯特是德国著名的数学家。他曾问学生一个问题:设想一个旅馆有无穷多个房间,某个忙碌的夜晚,旅馆住满了客人,翌日,又有无穷多个新客人造访,这时,柜台该怎么做呢?旅馆不想放弃这份不菲的收入,可是已客满。希尔伯特想以这个例子说明无穷大并不是真正的数。他可以轻松解决柜台的难题,只要让所有原来的客人都搬到房号为旧房间号乘以2的新房间,就能空出所有奇数房号的房间,进而让新客人入住。
不可列集
有理数集合是可列集,与整数集合同基数。即使如此,两个整数之间的所有分数,如1与2之间的分数,就已经构成一个可列集。换言之,1与2之间有整数那么多的分数。接下来考虑无理数,情况更为复杂。无理数,如和π,虽亦坐落在数轴上藏于有理数之间,但无法如有理数一般写清楚每一位数码,因此,无理数并不能按顺序一个一个罗列完整。所以,有理数和无理数的并集,即实数集合,是不可数的,或称为不可列的。康托尔认为不可列集的基数要严格大于可列集的基数。不可列集中含有远远多于可列集的元素。对于两个可列集,可以在两者之间建立一一对应关系:两者的第一个元素相互对应,第二个元素相互对应,第三个元素相互对应……按这个原则把两个集合的所有元素对应起来。这种方式却不适用于不可列集之间。无穷集合使得你每取完一个数,剩下的数仍然构成一个无穷集合。